2019-2020学年高中数学必学常识讲学
专题08等比数列的前n项和
1．等比数列{an}的前n项之和为Sn， 公比为q，若S3=16且
，则S6=（）
A．14 
B．18 C．102 D．144
【答案】A
【分析】
由题意得
，
将代入上式得 
，
化简得
，解得
。
∴
。
∴
。选A。2．【上海华东师范大学第二附属中学2017-2018学年高中一年级下学期期末】《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍。初日屠五两，今30日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个戴姓人擅长屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由题意，该屠户天天屠的肉成等比数列，记首项为
，公比为
，前
项和为
，
所以
，
，
因此
.
故选：D3．【江西新余第一中学2018届高中三年级毕业班第四次模拟】在等比数列
中，
，
，且前项和，则此数列的项数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得：
，
又，
和
是方程的两根，解方程得
或
.
若等比数列递增，则，
，
，
解得
，
，解得
；
若等比数列递减，则
，
，
，
，解得
，
，解得.
则此数列的项数等于
故选：B.4．【上海第二中学2017-2018学年高中一年级下学期5月月考】已知数列的前项和公式为，若，，则数列
的前项和（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
∵ ，∴
，
∴
,
∴，∴数列是以4为公比，2为首项的等比数列，
，
故选：C.5．【重庆第八中学2018-2019学年高中一年级下学期半期考试】国内古时候数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了
盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的
倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．盏 B．盏 C．盏 D．盏
【答案】C
【分析】
设这个塔顶层有盏灯，
宝塔一共有七层，相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，
从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、为首项的等比数列，
，解得：，
故答案选B6．若数列满足是首项为1，公比为2的等比数列，则等于
A．
B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由于是首项为1，公比为2的等比数列，
所以有
，即
,当
时，有
成立，当
时，也合适上式，故本题选B.7．【山东临沂2019年普通高考考试模拟】已知等比数列中，，前三项之和
，则公比的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】C
【分析】
等比数列中，，前三项之和，
若，，，符合题意；
若
，则
，
解得
，即公比的值为1或，故选C.8．【四川树德中学2018-2019学年高中一年级4月阶段性测试】在正项等比数列中，是其前项和，若，则
（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】
依据题意，等比数列{an}中，a2a6＝8，
则a42＝a2•a6＝8，即a4＝
，
又由{an}为正项等比数列，则a4＝，
又由于则q=
，
所以
故选：B．9．【江西南昌第十中学2018-2019学年高中一年级下学期第二次月考】在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直拿下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是
A．3 971 B．3 972 C．3 973 D．3 974
【答案】D
【分析】
将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）…
则第n组有n个数且最后一个数为n2，
则前n组共1+2+3+…+n个数，
设第2019个数在第n组中，
则，
解得n＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，
故选：D．10．【河南驻马店2018-2019学年度第一学期期终】已知数列满足，且，则的值等于（ ）
A．10 B．100 C． D．
【答案】B
【分析】
数列满足，则：，
整理得：，且
，
则：，解得：，
所以，
则
，
故选B.11．已知Sn是等比数列的前n项和，若存在，满足
，
，则数列的公比为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】
设等比数列的公比为，首项为，前n项和，
由等比数列的前n项和公式
及通项公式得，
==
=28，即，
==
所以，解得，
所以，所以答案选B。12．【江西吉安县三校2017-2018学年高中一年级5月联考】设为等比数列的前项和，且关于的方程有两个相等的实根，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
依据题意，关于的方程有两个相等的实根，
则有，代入等比数列的通项公式变形可得 ，
即
，
则
故选：C．13．【2011届内蒙古包头一中高中三年级首次模拟】设等比数列的前项和是，若,则________.
【答案】
【分析】
由等比数列前项和的性质，可得成等比数列，
所以
.
由得，代入上式可得，
所以，即.14．已知数列，则其前项的和等于______．
【答案】
【分析】
由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公比的等差数列的前n项和，
由公式可得：，所以数列通项：，
求和得：.15．【海南东方八所中学2018-2019学年高中一年级下学期期中】杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623——1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟年，比贾宪迟年。如图的表在国内南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里就出现了，这又是国内数学史上的一个伟大收获。如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则此数列前项和为________.
【答案】164
【分析】
考查每行第二个数组成的数列：，总结推理可知其通项公式为，其前
项和；
每行第三个数组成的数列：，
总结推理可知其通项公式为，
其前8项和
，
据此可得题中数列前项和为.
故答案为：16416．在正项等比数列中，，. 则满足的最大正整数的值为__________
【答案】12
【分析】
设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，
由题意可得，解之可得：a1，q＝2，
故其通项公式为an2n﹣6．
记Tn＝a1+a2+…+an，
Sn＝a1a2…an＝2﹣5×2﹣4…×2n﹣6＝2﹣5﹣4+…+n﹣6．
由题意可得Tn＞Sn，即，
化简得：2n﹣1，即2n1，
因此只须n，（n＞1），即n2﹣13n+10＜0，
解得n，
因为n为正整数，因此n最大为
的整数部分，也就是12．
故答案为1217．【安徽定远重点中学2017-2018学年高中一年级下学期教学段考】已知公差不为0的等差数列的前项和为， ，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【分析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为.
由于，所以
. ①
由于成等比数列，所以. ②
由①，②可得： .
所以.
（Ⅱ）由题意
，设数列的前项和为
，
,
，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列
所以18．【2016-2017北京西城31中高中一年级下期中】在等差数列中，，
．
（1）求数列的通项公式．
（2）若数列的首项为，公比为的等比数列，求的前项和．
【答案】（1）；（2）见分析
【分析】
（）设等差数列的公差为，
∵
，∴
，解得，
∴数列的通项公式为．
（）由数列
是首项为，公比为的等比数列得
，即
，
∴，
∴
．
∴当时，；
当时，．19．【上海晋元高级中学2019-2020年高中二年级上学期9月阶段反馈】在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了它们的薪资标准：A公司许诺第一年月薪资数为1500元，将来每年月薪资比上一年月薪资增加230元；B公司许诺第一年月薪资数为2000元，将来每年月薪资在上一年的月薪资增加基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作年，则他在第年的月薪资收入分别是多少?
（2）该人计划连续在一家公司工作10年，仅从薪资收入总量较多作为面试的规范（不计其它原因），该人应该选择哪家公司，为何?
（3）在A公司工作比在B公司工作的月薪资收入最多可以多多少元（精准到1元），并说明理由.
【答案】（1）在A公司第年收入为；在B公司连续工作年收入为；（2）应选择A公司，理由见解析；（3）827；理由见解析.
【分析】
（1）记该人在A公司第年收入为，在B公司连续工作年收入为，
由题意可得：，，
，；
（2）由（1），当时，
该人在A公司薪资收入的总量为：
（元）；
该人在B公司薪资收入的总量为：
（元）
显然A公司薪资总量高，所以应选择A公司；
（3）令，
则原问题即等价于求的最大值；
当时，
，
若，则，即，解得；
又，所以，
因此，当时，；当时，.
所以是数列的最大项，（元），
即在A公司工作比在B公司工作的月薪资收入最多可以多元.20．【上海南洋模范中学2016-2017学年高中一年级下学期期末】已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），，；（2），.
【分析】
（1）数列公比为，则，∵，∴，
∴，
的公差为，首项是，
则，，
∴，解得．
∴．
（2），数列的前项和记为，
，①
，②
①－②得：
，
∴．21．【2015届湖北武汉华中师大附中高中三年级5月考试】已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】
（1）由题意可得
即
又由于，所以所以.
（2）由于，所以
.
由于存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.
又
（当且仅当时取等号）.
所以，即实数的取值范围是.22．【上海静安区2016-2017学年高中一年级下学期期末】在已知数列中，，.
（1）若数列中，，求证：数列是等比数列；
（2）设数列、的前项和分别为、，是不是存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出的值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）见分析；（2）存在，.
【分析】
（1）在数列中，，，则，
，
且，数列是以为首项，为公比的等比数列，
；
（2）
，
整理得，，
，
，
所以，
，
若数列为等差数列，可设，则，
即，则，解得，
因此，存在实数，使得数列为等差数列.
